โจทย์ Adjoint

วิธีการหา det แบบ Adjoint

โจทย์ Minor-CoFactor

วิธีการหา det แบบ Minor-CoFactor

โจทย์ Row-Operation

วิธีการหา det แบบ Row-Operation

แบบฝึกหัดการหา det

วิธีการต่างๆในการหา det

determinant

เพิ่มเติมเรื่อง matrix

ก่อนจะจากกันผมขอเพิ่มเติมเนื้อหาหน่อยนะครับ ซึ่งจะมีดังต่อไปนี้

เฉลยโจทย์หลังเรียน

โจทย์หลังเรียน

เฉลยโจทย์ก่อนเรียน

โจทย์ก่อนเรียน

โจทย์ Inverse

Inverse

โจทย์ Transpose

...

Transpose

ทรานสโพส ( Transpose )

นิยาม A = [ a_ij ] _{m x n} ทรานสโพสของ A แทนด้วย " A^t " คือ เมตริกซ์ ซึ่งมีมิติเป็น n x m

โดยที่มีหลักที่ I เท่ากับแถวที่ I ของ เมตริกซ์ A

EX

A =			1	2	3
			0	4	5			2 x 3

At =			1	0
			2	4
			3	5			3 x 2

โจทย์การคูณ

มาลองงงงงงงงงง......เห้อ

การคูณ

การคูณเมตริกซ์ด้วยจำนวนจริง

นิยาม

A =

aij

m x n

KA =

KAij

m x n

EX

A =		-1	2	3
		1	4	-1

2A =		-2	4	6
		2	8	-2

การคูณเมตริกซ์ด้วยเมตริกซ์

เมตริกซ์ 2 เมตริกซ์ หาผลคูณได้ หลักของตัวตั้ง = แถวของตัวคูณ

นิยาม A = [ a_ij ] _{m x p} , B = [ b_ij ] _{p x n} ผลคูณของ A และ B เขียนแทนด้วย " AB "

ซึ่ง AB = [ c_ij ] _{m x n} โดยที่ C_ij = a_i1b_1j , a_i2b_2j , a_i3b_3j , + … + a_ipb_pj

EX

	3	-1			x		5
				1 x 2			2		2 x 1

=

3 ( 5 ) +

( - 1 ) 2

1 x 1

=

13

EX

	1 4	-2 5	3 6					2	1
						x		-4	2
					2 x 3			0	3		3 x 2

=

	10	6
	12	32		2 x 2

โจทย์การลบ

มาลองทำโจทย์กันนะครับ (ได้โปรดอน่าให้ผมต้องพูดอีกเลย)

การลบ

การลบเมตริซ์

คือ เมตริกซ์ 2 เมตริกซ์ จะลบกันได้ต้องมีมิติเท่ากัน

นิยาม A = [a_ij]_{m xn} , B = [b_ij]_{m x n}

A - B = [a_ij - b_ij ]_{m x n}

เช่น

A =			2	-1
			5	3

B =		3	4
		2	6

A - B		-1	-5
		3	-3

โจทย์การบวก

มาลองทำโจทย์กันนะครับ (อีกแล้ว)

การบวก

การบวกเมตริซ์

คือ เมตริกซ์ 2 เมตริกซ์ จะบวกกันได้ต้องมีมิติเท่ากัน

นิยาม A = [a_ij]_{m xn} , B = [b_ij]_{m x n}

A + B = [a_ij + b_ij ]_{m x n}

เช่น

A =			2	-1
			5	3

B =			3	4
			2	6

A + B			5	3
			7	9

คุณสมบัติการบวกของเมตริกซ์

S เป็นเซตของเมตริกซ์ m x n A,B,C อยู่ใน S

1. 1. ปิดการขวก A + B = S
   
2. 2. สลับที่การบวก A + B = B + A
   
3. 3. เปลี่ยนกลุ่ม ( A + B ) + C = A + ( B + C )
   
4. 4. เอกลักษณ์การบวก A + 0 = A 0 เป็นเอกลักการบวก
   
5. 5. อินเวอร์สการบวก A + ( - A ) = 0 - A เป็นอินเวอร์สการบวกของ A
   

EX

A =		1	-2	3
		4	5	-6

- A = ( -1 ) A		-1	2	-3
		-4	-5	6

โจทย์การเท่ากัน

มองลองทำโจทย์กันนะครับ

การเท่ากัน

การเท่ากันของเมตริกซ์

คือ เมตริกซ์ 2 เมตริกซ์ จะเท่ากันได้ก็ต่อเมื่อ เมตริกศืทั้ว 2 มีมิติที่เท่ากันและสมาชิกทุกตัวในตำแหน่งเดียวกันเท่ากันทุกตัว

A =

aij

m xn

B =

bij

m x n

A = B a_ij = b_ij ทุกตัว

เช่น

A =		1		0		2
		-1		5		3

B =		1		Log 1		2
		-1		5		3

A = B

Matrix… (มันคืออะไรหรอ)

เมตริกซ์ (Matrix)

ในชีวิตประจำวันถ้าสังเกตุการเขียนตีวเลขแสดงจำนวนจะพบว่าบางครั้งมีการเขียนตัวเลขเรียงกันเป็นแถวหลาย ๆ แถว เช่นในการแสดงผลการแข่งขันฟุตบอลของโรงเรียนสี่โรงเรียนเขียนแสดงดังนี้

ชนะ เสมอ แพ้ ประตูได้ ประตูเสีย คะแนน โรงเรียน ก 2 1 0 7 2 5 โรงเรียน ข 1 2 0 4 2 4 โรงเรียน ค 1 1 1 5 6 3 โรงเรียน ง 0 0 3 2 8 0

ถ้าตัดชื่อโรงเรียนและคำว่า ชนะ เสมอ แพ้ ประตูได้ ประตูเสีย คะแนน ออก และใช้เครื่องหมายวงเล็บ ล้อมตัวเลขเหล่านี้ไว้ จะได้สิ่งที่ในวิชาคณิตศาสตร์เรียกว่า
เมตริกซ์ (Matrix)
ดังนี้

แถวที่1		2	1	0	7	2	5
แถวที่2		1	2	0	4	2	4
แถวที่3		1	1	1	5	6	3
แถวที่4		0	0	3	2	8	0
		หลักที1	หลักที่2	หลักที่3	หลักที่4	หลักที่5	หลักที่6

สัญลักษณ์ของเมตริกซ์

เรียกเมตริกซ์ที่มี m แถว n หลัก ว่า m x n เมตริกซ์ หรือ เรียก m x n ว่า มิติของเมตริกซ์ เช่น

4	2	1	5	เป็น 2 x 4 เมตริกซ์ มีมิติเป็น 2 x 4
3	0	2	8

เพื่อความสะดวกในการกล่าวถึงเมตริกซ์ จะใช้อักษรตัวใหญ่ภาษาอังกฤษ A,B,C…. แทนเมตริกซ์

และใช้อักษรตัวเล็ก a,b,c….. ที่มีตัวเลขสองตัวเขียนต่อไว้ทางขวาในระดับที่ต่ำลงไปเล็กน้อยแทนสมาชิกของเมตริกซ์ A,B,C….. ตามลำดับ เช่น

	a11	a12	a13
A =	a21	a22	a23
	a31	a32	a33

ถ้า A เป็น m x n เมตริกซ์ จะเขียน A โดยใช้ a_ij เป็นสมาชิกของ A ได้ดังนี้

A =	a11	a12…	aij…	ain
	a21	a22…	a2j…	a2n
	-	- …	- …	-
	ai1	ai2…	aij…	ain
	-	- …	- …	-
	am1	am2…	amj…	amn

เมตริกซ์ศูนย์( Zeromatrix )

คือ เมตริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์ เช่น

0 =

0 0

เมตริกซ์แถว ( Row matrix )

คือ เมตริกซ์ ที่มีแถวเดียว

2

8

1 x 4

เมตริกซ์หลัก ( column matrix )

คือ เมตริกซ์ที่มีเพียงหลักเดียว

	2
	3
	5		3 x 1

เมตริกซ์สามเหลี่ยม (Triangle matrix )

คือ เมตริกซ์จัตุรสที่มีสมาชิกเหนือแนวแทยงมุมหลักหรือใต้แนวแทยงมุมหลักเป็น 0 ทุกตัว

	2	0	0
A =	5	7	0
	1	0	8

เมตริกซ์จัตุรัส ( Square matrix )

คือ เมตริกซ์ที่แถวและหลักเท่ากัน

	1	0
	2	4		2 x 2

เมตริกซ์เอกลักณ์การคูณ ( Identity matrix )

" I " คือ เมตริกซ์ จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวแทยงมุมหลักเป็น 1 นอกนั้นสมาชิกเป็นศูนย์ทุกตัว

I =		1	0	0
		0	1	0
		0	0	1